هندسه اقلیدسی

دانلود مقاله هندسه اقلیدیسی و نااقلیدیسی

اقلیدسی و نااقلیدسی و اصول اقلیدیس.

واژه های geo و metrein دو واژه یونانی هستند . واژه ی گئو ((geo)) به معنی زمین و واژه ی متراین ((metrein)) به معنی اندازه گیری است پس هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین است . هرودوت ، مورخ یونانی ( سده پنجم قبل از میلاد ) پیدایش هندسه را به نقشه برداران مصری نسبت داده است . ولی تمدنهای دیگر مانند بابلی ، هندی ، چینی هم اطلاعات هندسی زیادی داشتند . هندسه ی باستان در واقع مجموعه ای از روش های مانند آزمایش ، شباهت ها ، حدسها و شواهد اتفاقی به دست می آمد .

مثلاً :

بابلیها 2000 تا 1600 سال قبل از میلاد محیط دایره را 3 برابر قطرش می گرفتند یعنی   را برابر 3 در نظر می گرفتند این همان مقداری است که ویتردویوس به آن داده است . و در نوشته چینی ها مقدار آن نیز همین است.

مصریان حدسهایی درست و بعضی اوقات نادرست داشتند . بابلیان در حساب و جبر خطی از مصریان پیشرفته تر بودند . و یونانیان احکام هندسی را از راه استدلال قیاسی ثابت می کردند .

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود او در حدود 300 قبل از میلاد روش قاطع هندسه یونانی و نظریه اعداد را در (( اصول )) سیزده جلدی اش منتشر کرد . با تنظیم این شاهکار اقلیدس تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود را در یک جا گرد آورد .

روش بنداشتی: ریاضی دانان برای کشف قضایا از سعی و خطا ، محاسبه ی حالات خاص ، حدس بر اثر الهام و یا راه های دیگر استفاده کنند. روش بنداشت روشی است برای اثبات درستی قضایا.

اگر بخواهیم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازیم که حکم   درست است باید بتوانیم نشان دهیم که این حکم به طور منطقی از حکم  که شما آن را پذیرفته اید نتیجه شده است و اگر شما   را قبول نداشته باشید باید برای درستی   ، باید اثبات کنیم که   از   که شما آن را قبول دارید نتیجه گرفته شده و الی آخر ما به حکمی برسیم که شما آنرا قبول دارید . حکم که شما آنرا قبول دارید یک بنداشت یا یک اصل موضوع است .

حال اگر به حکمی نرسیم که شما آن را قبول داشته باشید دچار تسلسل شده ایم . یعنی : باید دلیل هایی پشت سر هم و بی پایان بیاوریم . پس برای اینکه درستی برهانی را بپذیریم باید دو شرط مسلم شوند : 1) پذیرفتن احکامی به نام بنداشت که به هیچ توجیحی نیاز ندارند 2) توافق بر اینکه چگونه حکمی از حکم دیگر نتیجه می شود یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال . حال مثالی را برای فهم بیشتر بنداشت می آوریم: (( زاویه نیم صفحه 180 درجه است . )) دو حالت دارد یا شما آن را قبول دارید که بنداشت محسوب می شود یا نه ، در صورتی که قبول نداشته باشید باید حکمی دیگر بیاوریم . (( هر نیم صفحه از دو زاویه قائم که   درجه هستند تشکیل شده است )) اگر این حکم را قبول داشته باشید ، حکم آخری بنداشت است وگرنه این مراحل را باید ادامه دهیم تا به حکمی برسیم که شما آن را پذیرفته و قبول دارید .

پنج اصل اول اقلیدس :

اقلیدس هندسه خود را بر اساس پنج فرض بنیادی به نام بنداشت یا اصل موضوع بنا نهاده است . اصل اول اقلیدس : به ازای هر نقطه P و Q که P و Q مساوی نباشند خط یکتایی مانند L وجود دارد که بر P و Q می گذرد . به عبارتی دیگر :

هر دو نقطه خط یکتایی را معین و مشخص می کند . دو نقطه دلخواه A و B را در نظر بگیرید : که خط آن به صورت است .