مقاله بررسی توابع

فهرست:

تعریف تابع

تاریخچه تابع

انواع توابع

مفهوم تابع

منابع

بخشهایی از متن:

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x² با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.
به عنوان مثال تابع f(x)=x² بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.
فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

...

بسط‌ها و محدودیت‌ها

در یک تعریف خودمانی، منظور از محدودیت یک تابع f، تغییر دامنه‌اش است.اگر بخواهیم کمی دقیق‌تر نگاه کنیم، اگر f تابعی از X به Y باشد و S زیرمجموعه‌ای X، محدودیت f به S تابع f|_S از S به Y می‌باشد و در این صورت می‌نویسیم برای هر s در S داریم f|_S(s) = f(s).اگر g محدودیتی از f باشد، در این صورت می‌نویسیم f بسطی از g است.

انجام عملیات در یک نقطه

اگر f: X → R و g: X → R توابعی با دامنه X و برد R باشد، آن گاه می‌توان جمع دو تابع را به این صورت تعریف کرد: f + g: X → R و توابع ضرب را هم به صورت f × g: X → R و در نتیجه:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f × g)(x) = f(x) × g(x)

برای هر x در X.